Родился 30 октября 1921 года в Курске, в семье рабочего. Окончил среднюю школу в 1936 году. В Красной Армии с 1940 года, в том же году окончил Чугуевскую военную авиационную школу пилотов. С декабря 1941 года сержант А. Е. Боровых на фронтах Великой Отечественной войны. Прошёл путь от рядового лётчика до заместителя командира полка.
Боевую деятельность начал в составе ОГ ПВО города Харькова, на самолёте И-16. С декабря 1941 года по сентябрь 1942 года служил в составе 728-го ИАП. Затем, по май 1945 года, в 157-м ИАП. К июню 1943 года командир звена 157-го истребительного авиационного полка (273-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, Центральный фронт) младший лейтенант А. Е. Боровых, действуя на Калининском и Центральном фронтах, совершил 341 успешный боевой вылет. В 55 воздушных боях, проявив высокое мужество и отвагу, сбил лично 12 самолётов противника и 14 в составе группы. 28 августа 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза. К декабрю 1944 года командир эскадрильи того же полка (234-я истребительная авиационная дивизия, 1-й Белорусский фронт) капитан А. Е. Боровых совершил ещё 123 боевых вылета и сбил 19 самолётов противника. 23 февраля 1945 года награждён второй медалью "Золотая Звезда".
После окончания войны командовал авиационным полком, дивизией, корпусом. В 1951 году окончил Военно-Воздушную академию, в 1957 году - Военную академию Генерального штаба. В 1958 - 1969 годах командовал авиационными соединениями. С 1969 по 1977 годы – Командующий авиацией ПВО страны. Генерал - полковник авиации (1968 год). С 1977 года - Военный консультант Института военной истории МО СССР. Депутат Верховного Совета СССР 2-го созыва. Заслуженный военный лётчик СССР (1966 год).
Погиб 7 ноября 1989 года. Похоронен в Москве. Автор книг - "Новая техника, оружие и человек", "Надёжный щит Родины". Награждён орденами: Ленина (дважды), Красного Знамени (пятикратно), Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды (трижды), "За службу Родине в Вооружённых Силах СССР" 3-й степени, а также медалями, иностранным орденом. Бронзовый бюст установлен на родине.